Keep tabs on

Идиома эта означает «следить за кем-то», «контролировать», «вести счёт», «высматривать». Почему? Потому что tab – это сокращённое от tablet, а tablet – это американский синоним slate, т.е. грифельной доски, на которой бармены XIX век делали пометки, кто из клиентов сколько кружек пива заказал. Или вы думаете, будто современные планшеты возникли на пустом месте?

Использовать её можно так:

We are keeping tabs on their movements.

The magazine keeps tabs on the latest fashion trends.

The Prince is rather easier to keep tabs on, but there is always the unforeseen to disrupt even the best-laid plans.

Среди синонимичных выражений мы наверняка встретим следующие:

Monitor

Keep track of

Watch over

Keep an eye on

Track

Observe

Supervise