Off one’s hands

Перед нами буквальное совпадение с нашим «с рук долой». Совпадения обычно указывают на общность источника. Каковым до Уральских гор частенько оказывается Библия. В данном случае, увы, английские этимологи молчат. Пишут, что это выражение могло образоваться естественным путём, то бишь из житейской практики. Дети выросли – с рук долой. Квартплату перечислили – с рук долой. И так далее. Не знаю. Знаю, что в лихие 1590-е появилась фраза out of hand (не под контролем) в противоположность in hand (под контролем).

Кстати, американцы используют идиому off one’s hands и как бритиши, т.е. когда снимают с себя ответственность, и ещё в значении «заканчивать». Сравните:

Now, with their children grown and off their hands, they will be free to travel.

The lawyer planned a vacation as soon as the case was off his hands.

Вот вам ещё несколько примеров современного употребления этого выражения:

Once the contract was signed, the project was officially off her hands.

When the new manager took over, all the issues with the project were off my hands.

Now that the kids are at summer camp, they’re off our hands for a few weeks.

Синонимы:

Relinquished

Passed on

Transferred

Delegated

Released